2013 年天津预赛 · 第 15 题

解答

（1）令 $\delta =\alpha -\beta \ge 0$，则 $(\tan \alpha -\tan \beta )/(1+{\tan }^2\alpha )=\sin \delta \cos \alpha /\cos \beta \le \sin \delta \le \delta$。这里余弦正且随角递减，正弦的线性界可由 $t-\sin t$ 的导数 $1-\cos t\ge 0$ 证明；在本角域 $\delta >0$ 时它严格。因此等号当且仅当 $\boxed{\alpha =\beta }$。（2）取 ${\alpha }_k=\arctan (k/n),{\beta }_k=\arctan ((k-1)/n)$，两角在所需范围内且严格不同。第一问给 $n/(n^2+k^2)<{\alpha }_k-{\beta }_k$。求和相消得 $n{\sum }_{k=1}^{n}1/(n^2+k^2)<\arctan 1-\arctan 0=\pi /4$，即 $\boxed{\sum _{k=1}^{n}1/(n^2+k^2)<\pi /(4n)}$。