2026 年新疆预赛

解答

（1）由

立即得到所证不等式。等号当且仅当 $a_1=a_2=a_3$。

（2）记

因为 ${\sum }_{i=1}^n{a}_i=2n$，展开得

先讨论 $n=2$。此时 $a_1+a_2=4$，所以

由 $0\le a_1{a}_2\le 4$，可得

最小值在 $(a_1,a_2)=(0,4)$ 或 $(4,0)$ 时取得，最大值在 $(a_1,a_2)=(2,2)$ 时取得。

以下设 $n\ge 3$。先证明一个加权形式的无三角形图上界：若无三角形图各顶点的 非负权重为 $w_v$，权重总和为 $W$，则

事实上，若正权顶点中有两个不相邻的顶点 $p,q$，令 $D_p,D_q$ 分别为其所有邻点的权重之和。不妨设 $D_p\ge D_q$， 把 $q$ 的全部权重合并到 $p$。总权重不变，而边权和增加 $w_q(D_p-D_q)\ge 0$。反复合并后，所有正权顶点两两相邻；因图中无三角形， 正权顶点至多有两个。于是最终边权和不超过 $uv\le (u+v{)}^2/4\le W^2/4$，从而原来的边权和也满足式 (2)。

现在令 $a_0=1$，并把 $a_0,a_1,\dots ,a_n$ 依次放在环

的各条边上。因 $n\ge 3$，这个环没有三角形；它的边权和正是 $H$， 总权重为 $2n+1$。由式 (2)，

结合式 (1)，

下界可以取得：令 $a_2=2n$，其余各项均为 $0$，则 $H=0$。 上界也可以取得：令

其余各项均为 $0$，则

因此