2012 年竞赛真题 · 第 15 题

解答

（1）$g^{\prime \prime }(x)=e^x-2a$。导函数在 $[0,+\infty )$ 递增当且仅当 $a\le 1/2$，最大值为 $\boxed{1/2}$；临界时二阶导数只在零为零。（2）取该临界系数，$g(0)=g^{\prime }(0)=0$ 且 $g^{\prime \prime }(x)>0$ 对正数成立，故 $e^x-x>1+x^2/2$。于是 ${\sum }_{k=2}^{n+1}f(1/k)>n+\frac{1}{2}{\sum }_{k=2}^{n+1}1/k^2$。又逐项 $1/k^2>1/[k(k+1)]$，其和为 $1/2-1/(n+2)=n/[2(n+2)]$，所以 $\boxed{\sum _{k=2}^{n+1}f(1/k)>n[1+1/(4(n+2))]}$。