2018 年山西预赛 · 第 7 题

解答

设 $BC=3$，取 $B=(-3/2,0,0),C=(3/2,0,0)$。其余距离为二，故 $A,D$ 在平面 $x=0$ 中半径 $\sqrt{7}/2$ 的圆上，且 $AD=2$。选该平面坐标使 $A=(0,\sqrt{3}/2,1),D=(0,\sqrt{3}/2,-1)$。由等距 $B,C$ 与 $A,D$，球心可写 $O=(0,t,0)$。等距方程为 $9/4+t^2=1+(t-\sqrt{3}/2{)}^2$，得 $t=-1/(2\sqrt{3})$。于是 $R^2=9/4+1/12=7/3$，所以 $\boxed{R=\sqrt{21}/3}$。