2026 年广东预赛

思路

这里的范数只指 $N(x+yi)=x^2+y^2$，满足 $N(zw)=N(z)N(w)$。平方数模八只可能为零、一、四；枚举坐标时只需检查从零到范数平方根以内的整数。

想法从哪来：复数的积的模看似约束很弱，但实虚部是整数，平方后每个模就成为正整数。先转成平方和的乘积分解，有限个素因子必须分给四个位置，可能性马上大幅缩小。不要漏用“互不相等”：在非负坐标象限里，单位模只有两个点，因此需要三个单位模的分配立刻被排除。 确定范数后，再寻找相应的整数格点，而不必引入高斯整数的唯一分解定理。对较大的平方和，先用模八筛出偶坐标的同余类，再在平方根以内逐个检查。两个坐标交换会产生两个候选，但前三个复数的和在交换实虚部下不变，目标模因此相同。

对每个复数取范数 $N(z)=|z{|}^2$，乘积条件变成正整数的乘积分解。互异条件会排除需要三个单位复数的分解，从而唯一确定四个范数。