培玉 · 一试
2016 年陕西预赛 · 第 11 题
F3填空题函数综合
设 分别是定义在 上的奇函数和偶函数，且 。若对 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是 。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
由奇偶分解求出f、g，再用代换。
解答
由奇偶性得
令 ，当1≤x≤2时，，而 。所以原式等价于 。函数t+2/t在该区间严格递增（导数1−2/t²>0），所需下界的最大值在t=3/2处，为−17/6。因此
复核
x=1时原式为3a/4+17/8，恰要求a≥−17/6，直接核定负号；取a=−17/6时其余x也成立。
方法总结
奇偶分解后求恒成立参数范围，要注意除以正量后的符号与最值方向。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
需同时利用奇偶性分解 ，将条件化为含参数的一元不等式，并在变换后的区间上求最小值，评为 F3。
已记下，谢谢！