2013 年湖北预赛 · 第 9 题

解答

各对数有意义，故 $a,b,c$ 均为正且不等于 $1$。设

这是因为 $a,b,c$ 成等比数列，故其对数成等差数列。 三数互不相等给出 $h\ne 0$；又 $m,m-h,m+h$ 均非零。 令 $t=m/h$，则 $t\ne 0,1,-1$，题中的三项依次为

它们成等差数列，等价于

乘以非零的 $t(t-1)(t+1)$ 并整理，得 $3t^2-3t-2=0$。公差因此为

最后一个等式用到了 $3t(t+1)=2(3t+1)$；这里 $3t+1\ne 0$，否则不满足上述二次方程。 条件也确实可实现：取 $t=(3+\sqrt{33})/6$、$h=1$， 并令 $a=e^{t-1}$、$b=e^t$、$c=e^{t+1}$，则三数互异、正且均不等于 $1$，成等比数列； 上述各步可逆，故题中的三项成公差为 $3/2$ 的等差数列。