培玉 · 一试
2025 年贵州预赛
数码和方程与欧拉函数
F2填空题数论
对正整数 ，用 表示 的各位数码之和，用 表示小于 且互质的正整数个数。若 为三位数，且满足 ，则 的最大值 为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
先用模 性质把数码和限制为 的倍数，再只需检查九个候选倍数；最后对实际 成立的四个整数计算欧拉函数。
解答
由 和 ，得
故 。写 ，因三位数的数码和至多为 ，故 ，且 。
逐一核对数码和：
只有 满足 ，故
分解质因数并用欧拉函数公式，得到
所以最大值为
复核
候选范围由数码和上界与模 条件共同给出，九个候选已全部检查； ，故 。
方法总结
整数等于其数码和的固定倍数时，先用模 同余压缩数码和，再利用数码和的有限上界 枚举；最后才计算题目要求的算术函数。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
由模九关系把三位数缩为 n=102t 且 1<=t<=9，逐一核对数码和并计算四个候选的欧拉函数，是直接的同余筛选模型。
已记下，谢谢！