培玉 · 一试
2021 年浙江预赛
F2填空题复数的几何意义
设复数 的实部、虚部 所形成的点 在椭圆
上。若 为实数，则复数 。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
用分子乘以分母共轭，令所得虚部为零，再与椭圆方程联立。
解答
分母要求 。令 ，则
故原商为实数当且仅当 ，即 。代入椭圆得
这两个值均不为 ，所以分母均非零。因此
复核
两解代入后分子、分母的虚部均为零，商分别为实数；原题条件没有提供可排除其中一解的附加限制。
方法总结
判断复数商为实数，可把商乘分母共轭并令虚部为零；联立曲线后必须保留全部合法交点。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
有理化分母得实商等价于y=1，再解椭圆横坐标并排除分母为零。
已记下，谢谢！