2011 年湖北预赛 · 第 10 题

思路

屏障归纳：若映射递增且 $G_n(L_n)\ge L_{n+1}$、$G_n(U_n)\le U_{n+1}$，初项夹在两者之间，则以后始终被夹住。

想法从哪来：递推的增量是正数，单调性很快得到，但“增长却始终小于一”不能靠单调本身证明。先猜一条接近常数的有理上界，用归纳让它覆盖整个递推；同理，目标下界可先换成稍强但更适合递推的有理下界。分母含n平方，试以n除以一次式作屏障，代回后差通常会大幅约分。这里先证明递推映射在正半轴递增，就能把当前项的上下界传到下一项，再比较屏障自身的前后关系。最终下界与题目要求再作一次差，正数分子给出严格性，初项恰在屏障上也不影响最后的严格结论。

构造两条随指标变化的有理界，分别用递推保持住，而不直接猜极限。