2014 年辽宁预赛 · 第 5 题

解答

原式乘以 $a_n{a}_{n+1}{a}_{n+2}$ 得 $a_n+a_{n+1}+a_{n+2}=a_n{a}_{n+1}{a}_{n+2}$。相邻两式相减得 $(a_n{a}_{n+1}-1)(a_{n+2}-a_{n-1})=0$（$n\ge 2$）。由三项均为正，$a_n{a}_{n+1}>1$，故 $a_{n+2}=a_{n-1}$，数列每三项循环。令 $a_2=t>0$，由等比关系 $a_1{a}_3=t^2$，所以 $6+t=t^3$。因 $t^3-t-6=(t-2)(t^2+2t+3)$，得 $t=2$。递增条件给 $a_1=3-\sqrt{5},a_3=3+\sqrt{5}$。于是 $S_{2014}=671\cdot 8+3-\sqrt{5}=5371-\sqrt{5}$，故 $\boxed{[S_{2014}]=5368}$，选 A。