2026 年湖南预赛

思路

椭圆上 $\alpha x+\beta y$ 的取值可通过 $x=a\cos t,y=b\sin t$ 化成辅助角式，振幅为 $\sqrt{a^2{\alpha }^2+b^2{\beta }^2}$。点到平行直线的距离等于相应线性函数差除以法向量长度。

想法从哪来：先把给定点代入椭圆，会发现它已经在曲线上。每条割线因此自带一个已知根，求另一个交点时可以直接约去它，而不必再使用完整求根公式。将两个相反斜率的交点坐标相减，先观察它们的方向，便能发现动弦方向其实固定。 固定方向以后，第三个动点只影响到弦的距离。把直线写成一个线性函数等于常数，椭圆上这个线性函数的最小值可以一次求出，于是“在下方”的最大高也明确了。最后只剩斜率绝对值的单变量面积，须检查零斜率、切线等退化情形，以及参数趋于无穷时的行为，确保最大值来自合法配置。

点 $P$ 本身在椭圆上，每条过 $P$ 的割线还有一个交点。把两条割线斜率记为 $k,-k$， 可由二次方程的另一个根写出 $A,B$；化简后发现 $AB$ 恒与直线 $y=x$ 平行。 面积等于弦长乘椭圆到该直线的最大距离。