易混 2021 年北京预赛 · P006951
两题都先在新变量的实际范围内数根,再核对这些根怎样还原为原输入。降维后的方程有几个根,不一定就是原问题的根数;分支重合、零输入和端点必须单列。
绝对值换元的正值各还原为相反数对,另一题求的是内层像上函数的不同输入,须比较正负两个单调支的值域。
已知
求 的解析式及定义域;
若方程 有两个不等实根,求 的取值范围。
这是解答题,请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。
三倍角公式把函数值化成输入本身的有理式,原分母非零限制不能丢。
按正负两个单调支分别求值域,再用值域交集判断双根。
令 ,由原式可知 且 。三倍角公式给
它在两支上都严格递减,负支值域为 ,正支值域为 。每支至多一根,所以恰有两个不等实根当且仅当两个值域都含 ,即
端值 给根 ; 给根 ,都在原域且不同,所以两端保留。 在最初式无定义,不能因三倍角化简而加入。
复合给出的函数解析式要以实际内层像及原分母限制确定域。多根条件常是各单调支值域的交集,端点值要按原域归属核实。
三角换元先保留原真定义域,再分两个严格单调支求值域与有效根数。
易混 2021 年北京预赛 · P006951
两题都先在新变量的实际范围内数根,再核对这些根怎样还原为原输入。降维后的方程有几个根,不一定就是原问题的根数;分支重合、零输入和端点必须单列。
绝对值换元的正值各还原为相反数对,另一题求的是内层像上函数的不同输入,须比较正负两个单调支的值域。
已记下,谢谢!