培玉 · 一试

专题地图 › 复数的三角形式与指数形式

2015 年天津预赛 · 第 11 题

F3填空题复数的三角形式与指数形式

设复数

z = cos \frac{4 π}{7} + i sin \frac{4 π}{7},

则

\frac{z}{1 + z ^{2}} + \frac{z ^{2}}{1 + z ^{4}} + \frac{z ^{3}}{1 + z ^{6}}

的值为（用数字作答）。

作答

分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。

解析

为什么评为 F3（会透露解法方向）

需要识别七次单位根关系，对三项有理式通分降幂，并分清原复数和与其模；还要核实分母不为零，代数整理较集中。

用到的方法（会透露解法方向）

核心工具：用共轭和倒数提取实数量、把多项式或幂差化成单位根问题

专题卡：型的式子：用整段和为 0 降次，变量代换要能还原、共轭复数的幂相加：成对配起来，只留实部