易混 2026 年吉林预赛 · P006050
两题都由有界整数的和产生结果，但集合只关心一个值是否出现，概率却关心这个值有多少种等可能的产生方式。先分清统计的是不同和值，还是给出这些和值的输入组。
相同的和值在前题只保留一次，在后题可能由很多不同样本点贡献。
培玉 · 一试
2026 年湖北预赛
三枚骰子点数和为完全平方数的概率
F2填空题概率
随机投掷 枚质地均匀的正方体骰子（ 个面的点数分别为 ），则 枚骰子正面朝上的点数之和为完全平方数的概率为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
三枚骰子的点数和介于 与 之间，所以只需计数和为 的有序三元组。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
思路
对每个目标和用去掉上界后的正整数解计数，并以容斥修正超过 的点数。
解答
样本空间共有
个等可能的有序结果。设三枚骰子的点数为 。可能的完全平方数之和只有
令 ，则 。
当点数和为 时，，共有
种。
当点数和为 时，。先忽略上界，有
组非负整数解；某个 时只有该变量减去 后三数之和为 的一种，三个 变量共需减去 种。因此共有
种。
当点数和为 时，可把每枚点数替换为 。这个双射把点数和 变成点数和 。同理，和为 的正整数三元组共有
种，且自动不超过 。
故所求概率为
复核
三骰点数和分布关于 对称，所以和为 的计数等于和为 的计数。三个目标 平方数互不相同，对应事件互斥，可以直接相加。
方法总结
固定骰子点数和时，先用隔板法计数无上界整数解，再用容斥处理每枚骰子的上界；靠近最大 点数和的一端还可用 的对称变换减少计算。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
候选和仅4、9、16，分别计数并对和9扣除超过骰面上限的三种解，和16可对称为和5。
联系 · 3 条
同一骨架 2025 年江西预赛 · P006292
两题都先建立独立点数和的分布，再只抽取满足数论条件的那些和值。对一个目标和值数有界整数解，与在生成函数中取相应系数，是同一计数结构的两种表示。
平方数与素数只改变最后取哪些系数，不改变有序样本的来源。
易混 2015 年陕西预赛 第 1 题 · P010613
同样从若干输入求和，集合记录的只是哪些和值能够出现，概率则必须保留每个和值由多少个等可能输入产生。输入到输出有重复表示时，求不同元素和统计样本重数需要相反的处理。
和集合应证明所有候选和值都可达后去重；掷骰子仍要按有序结果计算各和值的重数，不能把不同和值视为等可能。
已记下，谢谢！