易混 2026 年云南预赛 · P006117
两题从几何或复数条件消元后都得到圆锥曲线，但代数方程是否就是完整轨迹须分别回查。弦中点需能反求两个不同实端点，判别式会截出真弧段；模方程平方后则要检验原来的非负条件是否在整条曲线上自动成立。
不能因消元结果外形标准就默认全曲线，也不能预先假定每道题都要删掉相同种类的端点。
培玉 · 一试
2022 年新疆预赛
F3填空题复数综合
设 为复数，若方程
表示一条圆锥曲线，则此曲线的离心率 。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
写 ，把两个复数模都化成 ；平方前先保留右侧非负条件。
解答
有 ，且
原式给出 。平方并化简得
即
在此双曲线上 ，故平方没有引入增根。其离心率为
复核
所得曲线上 ，满足平方前的符号条件；双曲线半实轴平方为 、半虚轴平方为 。
方法总结
复数模方程转平面曲线时，要先用 展开，并在平方后回查非负条件以排除增根。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
须把z平方模差展开成实坐标方程，并证明所得双曲线上平方前非负条件自动成立。
联系 · 2 条
易混 2024 年新疆预赛 · P006605
两题都先把空间或复数模关系降成平面方程，再检验所得点是否真正满足原问题；必要方程之外的范围不可省略。
空间题的平面圆必须与正方形面片裁剪，只剩合法圆弧；复模题平方后必须回查原等式右侧非负，不能凭标准曲线方程就宣告全曲线有效。
已记下，谢谢！