同一骨架 2026 年江苏预赛 · P006061
两题都将非实复数与倒数的实性联系到模长。实系数二次方程的共轭根，其乘积是模平方；把实值关系写成二次方程，或直接比较虚部，都能识别这一相同结构，再处理后续几何量。
一题实值本身仍可变化，先由非实前提确定圆周再做模最值；另一题的右端已固定，可直接求共轭根。
培玉 · 一试
2024 年广东预赛
F3填空题复数的几何意义
已知复数 ，满足 ，，则
的最大值为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
实数条件先确定 ，再用 把模长平方化成区间上的二次函数。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
解答
写成 。因为 ，所以 。由
得 ，即 。
令 ，则 。利用 展开可得
由于 位于上述开区间内，最大值可以在 时取得。因此
复核
当 且 时虚部非零，故等号点满足 。
方法总结
形如 为实数的条件，先比较虚部以确定圆周；随后以 为实参数处理模长极值。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
由非实性得到定模圆，再将多项式模平方化成实部二次式，检查驻点避开两个实数禁点。
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