2010 年安徽预赛 · 第 1 题

解答

根式有意义当且仅当 $0\le x\le 4$。令 $X=x-2$、$Y=\sqrt{4-X^2}\ge 0$，则 $X^2+Y^2=4$，且

当 $X=-4/\sqrt{5},Y=2/\sqrt{5}$ 时等号成立，对应 $x=2-4/\sqrt{5}\in [0,4]$。 另一方面，$f(x)\le 2x\le 8$，且 $x=4$ 时取等。 函数在闭区间 $[0,4]$ 上连续，故介于最小值和最大值之间的每个值均能取到。因此值域为 $\boxed{[4-2\sqrt{5},8]}$。