2025 年浙江预赛

解答

不妨设 $A=\{a,b,c\}$，其中 $1\le a<b<c\le 9$，并令 $T=A\cap B$。于是

从而题设等价于

特别地 $abc\le 45$，故 $a\le 2$。

若 $a=2$，则 $bc\le 22$，只需检查 $(b,c)=(3,4),(3,5),(3,6),(3,7),(4,5)$。式 (1) 右端所需的子集和

依次为 $-12,-5,2,9,6$，其中后三个分别是 $2,2+7,2+4$，故得到

若 $a=1$，当 $b=2,3$ 时所需子集和均为负；$b=4$ 时只有 $c=8,9$ 分别给出 $0,1+4$；$b=5$ 时只有 $c=8,9$ 分别给出 $1+8,1+5+9$；$b=6$ 时只能有 $c=7$， 但所需子集和 $11$ 不能由 $\{1,6,7\}$ 组成；$b\ge 7$ 则 $bc>45$。 因此全部可行集合为

每个集合按上面给出的 $T$ 取 $B=(\{1,\dots ,9\}\setminus A)\cup T$ 即可使等式成立。因此共有

个。