2016 年黑龙江预赛 · 第 10 题

解答

取左右顶点 $A=(-a,0),B=(a,0)$。若等腰顶角在 $M$，则 $MA=MB$ 迫使 $x_M=0$，但双曲线没有纵轴上的点，故不可能。由对称性可设顶角在 $A$，于是 $AM=AB=2a$，并且 $\angle BAM=120^{\circ }$，所以 $M=(-2a,\pm \sqrt{3}a)$。代入双曲线得 $4-3a^2/b^2=1$，所以 $b^2=a^2$，离心率 $\boxed{e=\sqrt{2}}$，选 D。