培玉 · 一试
2013 年山西预赛 · 第 7 题
F1填空题函数的值域
函数 的最小值是。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
把关于中间整数对称的两项配对，每一对用绝对值三角不等式估计。
思路
中间剩余项迫使最小值在中位数处取得。
解答
把第 项和第 项配成一对，其中 。由绝对值三角不等式，
还剩中间项 。因此
当 时，它位于每一对端点之间，各对不等式均取等，中间项也为0，故最小值为 。
复核
直接代入 ，得到 。也可按整数折点观察斜率：在 斜率为 ，在 为 ，其余区间斜率依次增加，和配对法得到的唯一最小点一致。
方法总结
一串绝对值距离和可通过排序与折点斜率寻找中位数。对称数据还可以两端配对，直接写出统一下界，并在中间点核查所有等号。
为什么评为 F1（会透露解法方向）
把关于中间整数对称的两项配对，以绝对值三角不等式累加统一下界，中间剩余项给出同时取等点；长和可直接按等差整数求和，无需复杂分类。
已记下，谢谢！