2011 年湖北预赛 · 第 9 题

解答

展开得 $f(x-\frac{1}{2})=x^2+(b-1)x+\frac{1}{4}-\frac{b}{2}+c$，偶性迫 $b=1$。又 $f(1)=13$，得 $c=11$，所以

设正整数横坐标为 $u$，纵坐标为平方 $v^2$。因 $v^2=u^2+u+11>u^2$，可取正整数 $v>u$，且

两因子为正奇数且前小后大，只能为一与四十三，得 $u=10,v=11$。因此这样的点存在，且唯一为 $\boxed{(10,121)}$。