2022 年江西预赛

思路

斐波那契数F0=0,F1=1、后项为前两项和；Lucas型量L_m=F_m-1+F_m+1满足L_m²-5F_m²=4(-1)^m，Cassini恒等式可由递推归纳。

想法从哪来：先算前几项，根号总能消掉，且数列看似隔项取出的斐波那契数；但数值识别只能给猜想，证明要解释为何那个根式恒为整数。将根式中的五倍平方与斐波那契、Lucas恒等式对应，便能把非负平方根写成两邻项之和，再代回递推完成整性归纳。三个连续项的两两乘积有两种间隔：相邻子序列项相隔两个斐波那契下标，首尾相隔四个，下标不同不能只引用同一条未经说明的公式。分别写出两种乘积差平方恒等式并用递推验证，最后核对起始零项时加一仍为正平方。

先计算 $0,1,3,8,21$，可识别为斐波那契数列的偶数下标项。利用 $5F_{2m}^2+4$ 是 Lucas 数的平方，可验证递推；三种乘积结论再由 Cassini 型恒等式统一给出。