2025 年吉林预赛

解答

取

由于平面 $ABD\perp$ 平面 $BCD$ 且二者交于 $BD$，可令

这时 $AD=DB=1$ 且 $\angle ADB=120^{\circ }$。

设外接球心为 $O$。由 $OD=OB=OC$，点 $O$ 必在正三角形 $BCD$ 的过心垂线上， 故可写成

再由 $OD=OA$，即 $2O\cdot A=|A{|}^2=1$，得到

于是外接球半径满足

外接球表面积为

因此选择 $\boxed{\mathrm{C}}$。