2011 年天津预赛 · 第 5 题

解答

取 $O=(0,0),A=(1,0)$，设 $B=(u,v)$，其中 $u^2+v^2=1$。由平行关系可写

点积条件成为

所以 $u\ne 1$，且

于是

反过来，任取满足 $y^2=2x-1$ 的点，令

则 $u^2+v^2=1,u<1$，代入前式恰得该点 $P$，原平行与点积条件均成立。 故轨迹为完整抛物线 $\boxed{y^2=2x-1}$，选 $\boxed{\mathrm{B}}$。