2024 年全国高中数学联赛一试（A 卷） · 第 10 题

思路

二次方程 $a{t}^2+bt+c=0$ 有两个实根时，根差的绝对值为 $\sqrt{b^2-4ac}/|a|$，由根公式可直接推出。这里的重根判定针对交点纵坐标，根差公式针对两个圆心，二者不是同一组根。

想法从哪来：若直接给两个圆各设一个圆心参数，外切条件会含两个平方根，很难看出比值固定。先只研究一个圆：把双曲线方程代入圆，消去横坐标。每个合法纵坐标都配出左右两点，所以“每支恰一点”就变成关于纵坐标的二次式只有一个实根。 掌握圆心与半径的关系后，再把外切点写成 $(0,p)$。外切点在两圆心之间，圆心到它的距离就是半径，故两个圆心参数满足同一个二次方程。此时圆心距是两根之差，不必分别开方相减。所得根差与 $\sqrt{p^2+1}$ 成比例，恰与到右顶点的距离吻合。最后还要反查两根分居切点两侧，避免平方引入内切或虚构圆。

先消去交点横坐标求好圆的圆心与半径关系。直接消去两个圆心参数会出现根式，改以外切点纵坐标作参数，两个圆心便成为同一个二次方程的两根。