2018 年河北预赛（高三卷） · 第 6 题

解答

体对角线长为三。以从 $A$ 起的轴向距离为 $s$，轴点三个坐标均为 $s/\sqrt{3}$。垂轴圆半径为 $r$ 时，任一坐标的最大偏移为 $r\sqrt{2/3}$，所以整圆处在边长 $\sqrt{3}$ 的立方体内当且仅当 $r\le \min (s,3-s)/\sqrt{2}$。设柱两端的轴参数为 $s_1,s_2$，则 $s_1\ge \sqrt{2}r,s_2\le 3-\sqrt{2}r$，柱高 $h\le 3-2\sqrt{2}r$。因此 $V\le \pi r^2(3-2\sqrt{2}r)$，$0<r<3/(2\sqrt{2})$。导数为 $6\pi r(1-\sqrt{2}r)$，全局最大在 $r=1/\sqrt{2}$，此时 $h=1$，得到 $\boxed{V_{\max }=\pi /2}$。