2025 年甘肃预赛

解答

1. (1)

   三个项目全部失败的概率为

   $${\left(1-\frac{3}{4}\right)}^2\left(1-\frac{2}{3}\right)=\frac{1}{48}.$$

   故至少完成一个项目的概率为

   $$\boxed{1-\frac{1}{48}=\frac{47}{48}}.$$
2. (2)

   两次甲都完成的概率、两次乙都完成的概率均为

   $$p_A=p_B={\left(\frac{3}{4}\right)}^2=\frac{9}{16}.$$

   三次丙中至少两次完成的概率为

   $$p_C=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}\right){\left(\frac{2}{3}\right)}^2\frac{1}{3}+{\left(\frac{2}{3}\right)}^3=\frac{20}{27}.$$

   因此

   $$\begin{array}{rl}P(\xi =0)& =1-p_A=\frac{7}{16},\\ P(\xi =\mu )& =p_A(1-p_B)=\frac{63}{256},\\ P(\xi =3\mu )& =p_A{p}_B(1-p_C)=\frac{21}{256},\\ P(\xi =6\mu )& =p_A{p}_B{p}_C=\frac{15}{64}.\end{array}$$

   分布列为

   $$\begin{array}{ccccc}\xi & 0& \mu & 3\mu & 6\mu \\ P& \frac{7}{16}& \frac{63}{256}& \frac{21}{256}& \frac{15}{64}\end{array}$$

   且

   $$E\xi =\mu \cdot \frac{63}{256}+3\mu \cdot \frac{21}{256}+6\mu \cdot \frac{15}{64}=\boxed{\frac{243}{128}\mu }.$$