2013 年河北预赛 · 第 10 题

解答

取 $A=(0,0,0),B=(a,0,0),C=(0,2,0)$，柱高一，故 $A_1=(0,0,1),B_1=(a,0,1),D=(3a/4,1/2,1)$。（1）$BD=(-a/4,1/2,1)$，$A_{1}C=(0,2,-1)$，点积为零，所以 $\boxed{BD\perp A_{1}C}$。（2）取棱方向 $w=D-A_1=(3a/4,1/2,0)$，半平面方向 $u=B-A_1=(a,0,-1),v=B_1-A_1=(a,0,0)$。设 $k=|v_{\perp }{|}^2=4a^2/(9a^2+4)$；因 $u-v$ 竖直且垂直 $w$，有 $|u_{\perp }{|}^2=k+1,u_{\perp }\cdot v_{\perp }=k>0$。故二面角余弦平方为 $k/(k+1)=4a^2/(13a^2+4)$。令它为 $1/4$ 得 $a^2=4/3$，所以 $\boxed{a=2\sqrt{3}/3}$。