培玉 · 一试
一试训练题
F2填空题导数的应用
a>0，实数b、c满足a/4+b/3+c/2=0。证明ax²+bx+c在(0,1)至少有一根。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
加权积分为0而权严格正，连续函数必须变号或内部取零。
解答
给定式恰为∫₀¹ x(ax²+bx+c)dx=0。若多项式在(0,1)无根，连续性使它全正或全负，权x>0给积分严格同号，矛盾。因此内部必有根。a>0确保多项式不恒零，论证也允许端点另有根。 所求为 。
复核
权在端点0为零不影响开区间严格正的积分判断。
方法总结
加权积分为0而权严格正，连续函数必须变号或内部取零。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
加权积分为0而权严格正，连续函数必须变号或内部取零。
已记下，谢谢！