培玉 · 一试
2023 年吉林预赛
F3填空题组合计数综合
若在 的任意一个排列中，总能找到连续 个数之和不小于 ，则实数 的最大值为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
把排列分成三个互不相交的六项块得到下界，再构造一个所有六项滑动和都不超过该下界的排列。
解答
任意排列的第 至 项、第 至 项、第 至 项三块之和为
故至少一块的和不小于 ，所以总能找到连续六项之和不小于 。
另一方面，取排列
它的十三个连续六项和依次为
均不超过 。因此不能保证大于 ，所求最大值为
复核
构造确为 至 的排列，13个窗口已逐一列出，覆盖了全部可能的起点。
方法总结
固定长度连续和的保证值，常用不交叠分块给下界，再用显式排列压住所有滑动窗口证明最优。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
三块平均立即给57，实质选择在于用和为19的大小配对且低项递减排列控制所有滑动六项和；选定配对后验证两类起点即可。
已记下，谢谢！