2019 年全国高中数学联赛一试（A 卷） · 第 11 题

解答

由递推和 $z_1\ne 0$ 归纳得所有项非零，故 $z_{n+1}/z_n=(-1\pm i\sqrt{3})/4$，从而 $|z_n|=2^{1-n}$，$|z_n+z_{n+1}|=\sqrt{3}/2^n$。当 $m=2s$，逆三角不等式给 $|{\sum }_{j=1}^{2s}{z}_j|\ge \sqrt{3}/2-{\sum }_{k=2}^s\sqrt{3}/2^{2k-1}=\sqrt{3}/3+(2\sqrt{3}/3)4^{-s}$。当 $m=2s+1$、$s\ge 1$ 时，再减末项模 $4^{-s}$，得到下界 $\sqrt{3}/3+(2\sqrt{3}/3-1)4^{-s}>\sqrt{3}/3$；m=1时也大于该值。因此常数 $\sqrt{3}/3$ 可用。为证明不能更大，取 $z_1=1$，对 $k\ge 1$ 取 $z_{2k}=(-1+i\sqrt{3})/2^{2k}$、$z_{2k+1}=(-1-i\sqrt{3})/2^{2k+1}$。逐个比值均为上面两个合法值，奇数部分和趋于 $1+(-3+i\sqrt{3})/6=1/2+i\sqrt{3}/6$，其模为 $\sqrt{3}/3$。所以最大常数为 $\boxed{C=\sqrt{3}/3}$。