2021 年贵州预赛

解答

设弦从 $B$ 出发的单位方向为 $(\cos \theta ,\sin \theta )$，另一交点写成

代入椭圆并约去已知根 $t=0$，得到

令 $u=|\sin \theta |\in [0,1]$，弦长为

其导数的符号与 $b^2-(a^2-b^2)u^2$ 相同。

若 $b<a\le \sqrt{2}b$，则 $L(u)$ 在 $[0,1]$ 上递增，最大值为 $L(1)=2b$。若 $a>\sqrt{2}b$，最大点为 $u=b/\sqrt{a^2-b^2}$，最大值为 $a^2/\sqrt{a^2-b^2}$。 所以最长弦长度为