2024 年山东预赛

解答

显然 $f\ge 0$，且 $(x,y,z)=(2,0,0)$ 时取到最小值 $0$。令 $p=xy+yz+zx,q=xyz$，则

若 $p\le 1$，立即有 $f\le 1$。若 $1\le p\le 4/3$，由三次 Schur 不等式

得 $q\ge 8(p-1)/9$，所以

最后一步因该二次式在 $[1,4/3]$ 上递减。取 $(x,y,z)=(1,1,0)$ 时 $f=1$。故最大值与最小值之和为