2023 年四川预赛

解答

令

其中 $A\ge 0,C\ge 0,A+C\le \pi$，且 $B=\pi -A-C$。

先考察闭区域的边界。

当 $C=0$ 时，令 $x=\cos A$，则

当 $B=0$ 时，

求导可得其最小值为 $2-2\sqrt{2}>-25/16$。当 $A=0$ 时，令 $x=\cos B$，则

检查端点及两个驻点 $x=1/3\pm \sqrt{13}/6$，其最小值为

故闭区域边界的最小值是 $-25/16$，只在 $C=0,\cos A=-3/8$ 时取得。

下面排除更小的内部驻点。若 $(A,C)$ 是内部驻点，则

所以 $A+C\in (\pi /2,\pi )$ 且 $\sin A=\sin 3C$。结合角的范围，只有以下三种可能：

在情形 (i) 中，

在 $[\pi /8,\pi /6]$ 内，若 $h^{\prime }(C)=0$，置

则 $4\sin Y=3\sin X$。令 $u=\cos X\ge 0$，可得

在 $[\pi /6,\pi /4]$ 内，$C\le 3\pi /16$ 时，驻点等式不可能成立，因为此时相应的 $Y=2\pi -8C$ 满足

若 $C>3\pi /16$ 且 $h^{\prime }(C)=0$，令 $X=3C$、$Y=2\pi -8C$ 及 $u=\cos X$，则

并且

这四个值也均大于 $-25/16$。因此情形 (i) 不会给出更小值。

在情形 (ii) 中，$B=2C$，从而

在情形 (iii) 中，$\cos 3C\ge \sqrt{2}/2$，故

所以闭区域上的最小值确为 $-25/16$。

另一方面，每个余弦均不超过 $1$，所以 $F\le 6$；闭区域的点 $A=C=0,B=\pi$ 给出 $6$。在真正三角形中 $A,B,C>0$，上述最小值和最大值都不能取得，但分别可以令

以及令 $A,C\to 0^{+}$ 来逼近。角度区域连通且 $F$ 连续，故其值域为