2026 年北京预赛

思路

前缀和换元和线性加权估计均为初等方法；最大值与最小值使用的换元方向不同。

想法从哪来：条件只约束前缀平均，直接猜各个 $x_k$ 容易把约束弄丢。 先记平均值为 $y_k$，再由前缀和作差还原 $x_k$。这样最大相邻差变为三个 $y$ 的线性式；正系数位置取 $1$、负系数位置取 $0$，便自然得到候选极端构造。 求最小值则反向思考：若每次相邻变化都小，两个平均值最多能拉开多大距离？把它们的差展开成相邻增量的加权和，系数同号，使绝对值估计可控。等差数列让每个增量同号且等大，正是达到这一步等号的候选。

把前缀平均记为 $y_k$，则 $x_k=k{y}_k-(k-1)y_{k-1}$。这样相邻差是三个相邻平均值的 线性式，可直接求最大值；反过来把各平均值写成相邻差的线性组合，系数同号，可控制平均值的极差。