2021 年四川预赛

思路

广义Cassini不变量 $F_{k+1}^2-F_k{F}_{k+2}$ 每步反号；平方差N²-(tF)²分解成(N-tF)(N+tF)，固定非零整数的整数因子对有限。

想法从哪来：要证明存在无穷多个参数，不必刻画所有好参数，先主动选一族容易处理的m。目标含一加乘积，若m选平方，利用Cassini型恒等式能把邻项乘积换成中间项平方加一个只随奇偶变号的常数。于是“目标是平方”成为两个平方之差等于固定整数，分解为两整数因子。固定非零整数只有有限因子对，便不可能支持无穷多个不断增长的数列项。这里参数族从平方四开始而非一开始，是为避免右边恰变零；同时要证明不变量本身非零，否则有限因子论证失效。最后由初值正且严格增，将有限数值转换成有限指标。

递推数列具有 Cassini 型不变量。把 $m$ 取成平方数后，目标式若为平方，便可化成两个整数之积等于一个只依赖于 $k$ 奇偶性的非零常数。