垫脚石（相关题 → 此题） 2011 年河南预赛 第 4 题 · P009867
先练习把两个竞争量的较小者压在它们的几何平均数之下，并寻找两量相等的配置。再加入参数时，仍要同时匹配比值估计的等号和两量平衡，不能只优化其中一个表达式。
前题额外的常数封顶在最优配置下不起作用；后题需要把平衡关系随参数一起确定。
培玉 · 一试
2023 年上海高中数学竞赛（高三卷）
F3填空题不等式的证明
给定正实数 。对任意正实数 ，记
则 的最大值为。（ 表示实数 中的较小者。）
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
对两个正量的最小值用几何平均数控制，再令比值 单变量化。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
思路
等号需要同时满足两个量相等以及一个基本不等式等号。
解答
由 ，有
令 ，则
其中最后一步来自 。所以
取
则 ，故上界可达。因此
复核
所取 均为正； 使基本不等式取等号，同时两项最小值相等，所以不是只有上界而不可达。
方法总结
最大化 时，先用 给上界，再寻找使 且辅助不等式同时取等的参数。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
关键是用m²不超过两候选乘积把min去掉，再以b/a估计；还需同时满足两候选相等与分母均值等号确定可达构造。
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