培玉 · 一试

专题地图 › 递推数列

2014 年河北预赛 · 第 14 题

F2解答题递推数列

数列 ${a_{n}}$ 满足

a_{1} = 1, a_{n} = \frac{1}{a _{n + 1}} - \frac{1}{2} .

(1)
求证： $a_{n} \geq \frac{2}{3}$ ；
(2)
求证： $∣ a_{2 n} - a_{n} ∣ < \frac{10}{27}$ 。

作答

这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。

解析

为什么评为 F2（会透露解法方向）

把分式递推视为映射，先找保持不变的闭区间，再用归纳控制所有项；区间宽度随即给出任意两项的距离界。

用到的方法（会透露解法方向）

核心工具：递推的不变区间与临界值

专题卡：数列只问范围：不变区间、单调和夹逼