培玉 · 一试
一试训练题
F2填空题集合与简易逻辑
对于集合 ，我们把 称为它的长度。设集合
且 都是集合 的子集，则集合 的长度的最小值是。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
把交集长度写成两区间长度之和减去并集长度。
思路
全集给并集一个统一上界，先证明因此必然相交，再尝试把两个区间分别贴向全集两端，看这个长度界能否达到。
解答
两区间均在 中，长度分别为 。它们必相交，否则两长度之和至多为 ，与 矛盾。记长度为 ，则
取 、，交集为 ，长度为 ，故最小值为 。
复核
达到构造对应 ，两个区间的左右端点都没有越过全集。此时右区间左端为 ，重叠段两端为998与1981，差为983。若把闭区间的端点个数当成长度再加1，会破坏题目对长度的明确定义。
方法总结
固定母区间中的最小重叠，可由长度容斥把问题转成最大并集。端点贴边是常见达到构造，但先要证明长度相加超过母区间长度，避免在可能不相交时错误使用交段端点公式。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
区间并交长度恒等式给出下界，把两区间分别贴向全集两端即可验证达到，定F2。
已记下，谢谢！