2025 年新疆预赛

思路

对 $0<t<1$ 与正整数 $m$，$t^m(1-t)$ 的导数为 $t^{m-1}[m-(m+1)t]$，所以最大点为 $m/(m+1)$。逐项放缩得到的界未必尖锐，等号条件还需相容。

想法从哪来：三个比值乘积为一，但括号依次累加，逐个用均值不等式通常会留下不平衡的幂次。先将三个部分和记为递增量，再用第一个的倒数与相邻部分和的比值换元，它们都在零一之间；原来新增的三段便变成各比值的一减部分除以前缀乘积。 把三段乘积为一的条件代入，就得到“一减各比值”的乘积与带不同幂次的比值乘积相等，而目标是后者的倒数。为了控制这个共同正数，可以将两个相等表达式相乘，分成三个各自只含一个变量的因子，每个都是幂乘一减变量，有标准单变量最大值。这个步骤足以证明统一下界，但逐项最大点还须满足共同约束，不能未经检验就宣称全部能同时取等。

直接分别对三个括号使用均值不等式会留下无法消去的比值幂。改把三个递增的部分和记为 $A_1,A_2,A_3$，再用相邻部分和之比换元；原来的三个比值乘积为 $1$，会转化为一个适合逐因子求最大值的等式。