椭圆

椭圆 $x^2/25+y^2/9=1$ 的上顶点到两个焦点的距离各多少？

焦点关于纵轴对称。

$c=4$，上顶点 $(0,3)$，每个距离为 $\sqrt{16+9}=5$，和为 $10=2a$。

各为 $5$。

同一椭圆上一点到左焦点距离为 $7$，到右焦点距离是多少？

两焦距离之和为十。

另一距离为 $10-7=3$。构造 $P=(5/2,3\sqrt{3}/2)$ 代回椭圆可得两距离确为 $7,3$。

$3$。

$x^2/9+y^2/4=1$，求 $x+y$ 的最大值。

目标为三倍余弦加二倍正弦。

$x+y=3\cos t+2\sin t\le \sqrt{13}$。取 $\cos t=3/\sqrt{13},\sin t=2/\sqrt{13}$ 可达，对应点 $(9/\sqrt{13},4/\sqrt{13})$。

$\sqrt{13}$。

同一椭圆上点到原点距离的最小值和最大值？

距离平方只含余弦平方。

$x^2+y^2=9{\cos }^{2}t+4{\sin }^{2}t=4+5{\cos }^{2}t$，范围 $[4,9]$，距离范围 $[2,3]$。

最小 $2$，最大 $3$。

直线 $y=x+\frac{1}{2}$ 与椭圆 $\frac{x^2}{2}+y^2=1$ 交于 $A,B$，求 $|AB|$ 和线段 $AB$ 的中点。

两个根含根号，但弦长和中点只用和与积。

代入并乘 $2$：$x^2+2{\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2=2$，展开得 $3x^2+2x-\frac{3}{2}=0$，乘 $2$ 得 $6x^2+4x-3=0$。$\Delta =16+72=88>0$，有两个交点。$x_1+x_2=-\frac{2}{3}$，$x_1{x}_2=-\frac{1}{2}$。$(x_1-x_2{)}^2=\frac{4}{9}+2=\frac{22}{9}$，所以 $|x_1-x_2|=\frac{\sqrt{22}}{3}$。斜率是 $1$，$|AB|=\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{22}}{3}=\frac{\sqrt{44}}{3}=\frac{2\sqrt{11}}{3}$。中点横坐标是 $-\frac{1}{3}$，纵坐标是 $-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=\frac{1}{6}$。

$|AB|=\frac{2\sqrt{11}}{3}$，中点 $\left(-\frac{1}{3},\frac{1}{6}\right)$。

椭圆 $\frac{x^2}{4}+y^2=1$ 上有点 $A(-2,0)$，过 $A$ 且斜率为 $k$（$k\ne 0$）的直线交椭圆于另一点 $B$。求 $B$ 的坐标；若 $OB\perp AB$（$O$ 为原点），求 $k$。

$A$ 已经在椭圆上，横坐标 $-2$ 是一个根，所以另一个根可以直接算。

代入 $y=k(x+2)$ 并乘 $4$：$(1+4k^2)x^2+16k^{2}x+16k^2-4=0$。$x=-2$ 是一个根，设另一根为 $x_2$，由两根之积，$-2x_2=\frac{16k^2-4}{1+4k^2}$，所以 $x_2=\frac{2-8k^2}{1+4k^2}$。$k\ne 0$ 时 $x_2\ne -2$，是两个不同的交点。纵坐标 $y_2=k(x_2+2)=\frac{4k}{1+4k^2}$。垂直条件：$OB\perp AB$ 表示 $\angle OBA$ 是直角，由勾股定理，$O{A}^2=O{B}^2+A{B}^2$，即 $4=x_2^2+y_2^2+(x_2+2{)}^2+y_2^2$，整理得 $x_2^2+2x_2+y_2^2=0$。把其中一个 $y_2$ 换成 $k(x_2+2)$：$x_2(x_2+2)+k{y}_2(x_2+2)=0$，即 $(x_2+2)(x_2+k{y}_2)=0$。$B$ 不是 $A$，所以 $x_2+2\ne 0$，得 $x_2+k{y}_2=0$。代入得 $\frac{2-8k^2+4k^2}{1+4k^2}=0$，即 $k^2=\frac{1}{2}$，$k=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$。检查 $k=\frac{\sqrt{2}}{2}$：$x_2=-\frac{2}{3}$，$y_2=\frac{2\sqrt{2}}{3}$，$\frac{(2/3{)}^2}{4}+\frac{8}{9}=\frac{1}{9}+\frac{8}{9}=1$，点在椭圆上。

$B\left(\frac{2-8k^2}{1+4k^2},\frac{4k}{1+4k^2}\right)$；$k=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$。

求椭圆 $x^2/9+y^2/4=1$ 在 $(3,0)$ 处切线。

切点式只剩横坐标项。

$3x/9=1$，得到 $x=3$。代回椭圆得 $y=0$ 为唯一交点。

$x=3$。

从 $P=(6,0)$ 向同一椭圆作两切线，求接触弦。

将外点放入切点式。

$6x_0/9=1$ 给 $x_0=3/2$；切点纵坐标 $y_0=\pm \sqrt{3}$，两点不同，弦为 $x=3/2$。

$x=3/2$。

$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$ 的一条弦以 $M(1,1)$ 为中点。求弦所在直线和弦长。

中点已知，用方向条件定斜率；相加得到的 $Q(u,v)=1-Q(M)$ 正好给半弦长。

$Q(M)=\frac{1}{8}+\frac{1}{4}=\frac{3}{8}<1$，弦存在。方向 $(1,k)$：$\frac{1}{8}+\frac{k}{4}=0$，$k=-\frac{1}{2}$。直线 $y-1=-\frac{1}{2}(x-1)$，即 $x+2y=3$。半弦写成 $(u,v)$，$v=-\frac{1}{2}u$，由 $Q(u,v)=1-\frac{3}{8}=\frac{5}{8}$ 得 $\frac{u^2}{8}+\frac{u^2}{16}=\frac{5}{8}$，所以 $u^2=\frac{10}{3}$。弦长 $=2\sqrt{u^2+v^2}=2\sqrt{\frac{5}{4}{u}^2}=\sqrt{5}\cdot \sqrt{\frac{10}{3}}=\frac{5\sqrt{6}}{3}$。检查：把 $x=3-2y$ 代入椭圆得 $6y^2-12y+1=0$，$y$ 的两根之和为 $2$，中点纵坐标是 $1$；两根之差的平方是 $2^2-4\cdot \frac{1}{6}=\frac{10}{3}$。由 $x=3-2y$，$x$ 之差的平方是它的 $4$ 倍，所以弦长平方 $=(1+4)\cdot \frac{10}{3}=\frac{50}{3}$，与 $(\frac{5\sqrt{6}}{3}{)}^2$ 相等。

$x+2y=3$，弦长 $\frac{5\sqrt{6}}{3}$。

$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$ 中所有斜率为 $1$ 的弦，中点构成什么图形？

方向已知，中点未知，方向条件反过来就是中点的方程。别忘了中点要在内部。

中点 $(m,n)$，方向 $(1,1)$，方向条件 $\frac{m}{8}+\frac{n}{4}=0$，即 $m+2n=0$。这条直线过原点，代入 $Q(m,n)<1$：$\frac{4n^2}{8}+\frac{n^2}{4}=\frac{3n^2}{4}<1$，所以 $|n|<\frac{2\sqrt{3}}{3}$。反过来，满足这两个条件的点，把方向 $(1,1)$ 按比例缩放后就是某条弦的中点。检查：直线 $y=x+t$ 代入椭圆得 $3x^2+4tx+2t^2-8=0$，中点 $x=-\frac{2t}{3},y=\frac{t}{3}$，满足 $m+2n=0$；有两个交点要 $t^2<12$，即 $|n|<\frac{2\sqrt{3}}{3}$，一致。

直线 $x+2y=0$ 上满足 $|y|<\frac{2\sqrt{3}}{3}$ 的线段，不含两端。