2008 年湖南预赛 · 第 15 题

解答

非空区间给 $0<\alpha \le \beta$。设 $r=\max (a,b)/\min (a,b)$，则 $1\le r\le R=\beta /\alpha$。函数 $r+1/r$ 在 $[1,+\infty )$ 单调递增，故 $\boxed{b/a+a/b\le \beta /\alpha +\alpha /\beta }$。若 $\alpha <\beta$，严格单调性使等号当且仅当 $r=R$，这又迫使两数分别等于两个端点。若 $\alpha =\beta$，只有 $a=b=\alpha$，同样就是所述端点条件。因此等号的充分必要条件正是 $\boxed{(a,b)=(\alpha ,\beta )\text{ 或 }(\beta ,\alpha )}$。