2012 年安徽预赛 · 第 4 题

解答

因 $AB$ 为半圆直径，$\angle ACB=90^{\circ }$，故 $BC=\sqrt{10^2-8^2}=6$。 同理 $\angle ADB=90^{\circ }$，由 $BD=5\sqrt{2}$、$AB=10$ 得 $AD=5\sqrt{2}$，从而 $\angle ABD=45^{\circ }$。 作 $EK\perp AB$，$K\in AB$。由于 $E$ 在两线段 $AC$、$BD$ 内，$K$ 在 $AB$ 内；且 $△AKE\sim △ACB$，故 $EK/AK=BC/AC=3/4$。 又 $\angle EBK=45^{\circ }$，故 $BK=EK$。由 $AK+BK=10$，得

所以 $S_{ABE}=\frac{1}{2}AB\cdot EK=\boxed{150/7}$。