培玉 · 一试
2009 年天津预赛 · 第 2 题
F2填空题平面几何综合
已知 是正三角形， 分别为边 的中点， 为 的外心。在边 上有一点 ，使得 的面积等于 的面积的 ，其中 为大于 的正整数，则 的值为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
利用小等边三角形的外心也是重心，可先写出 对原三角形的面积坐标。
思路
再以 为同一直线上的底边，面积比只与分点比例有关。
解答
设 为向量原点，、。因为 ， 为正三角形，其外心即重心，所以
换言之， 的面积坐标为 ；它到直线 的距离等于 到这条直线距离的 。令 ，则
于是
复核
当 时 ，所求点确在边内部，且面积比满足原条件。例： 给 、比值3； 给 、比值1。题面保留了参数n，答案相应含n，不能将它擅自固定成一个数。
方法总结
等边三角形内的小等边三角形，可借外心等于重心写出仿射坐标；面积比先拆成底边比和高度比，保留题面参数。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
小等边三角形的外心可按重心权重表示，面积比再拆成高度比和底边比；题面保留的整数参数不能擅自固定。
已记下，谢谢！