2018 年黑龙江预赛 · 第 16 题

解答

记中心数 $h=a_1+4\ge 5$，则两组和分别为 $5h$ 与 $4h$。$5h$ 是平方数，要求 $h$ 中五的指数为奇数、其余素数指数为偶数；$4h$ 是立方数，要求二的指数加二后为三的倍数，其余素数指数为三的倍数。 所以 $h$ 中二的指数至少为四，五的指数至少为三，其他素数可不出现。于是 $h\ge 2^4\cdot 5^3=2000$，从而九项和至少一万八千。取九数为一千九百九十六至二千零四，中心为二千，两组和为一万、八千，分别等于 $100^2,20^3$。故最小总和为 $\boxed{18000}$。