2021 年福建预赛

解答

（1）当 $a=3$ 时，证明 $a_n=n+2$。初始时成立；若 $a_n=n+2$，则

故 $a_{n+1}=n+3$。由归纳法，$a_n=n+2$ 对所有正整数 $n$ 成立。因此

所以这样的正整数 $k$ 唯一。

（2）因 $a>3$ 且为正整数，$a_1\ge 4=2\cdot 1+2$。下面归纳证明

若 $a_n\ge 2n+3$，则

若 $a_n=2n+2=2(n+1)$，则

同样有 $a_{n+1}\ge 2n+4$。故归纳成立。于是对每个正整数 $k$，

因此当 $a>3$ 时，满足 $a_k=2k$ 的正整数 $k$ 不存在，个数为