2017 年河北预赛 · 第 9 题

解答

在 $n=1$ 时有 $a_1^2-2a_1-3=0$，正项条件给 $a_1=3$。对相邻两个关系作差，得 $(a_n+a_{n-1})(a_n-a_{n-1}-2)=0$。第一因子为正，故 $\boxed{a_n=2n+1}$。记题中乘积为 $P_n$。对 $k\ge 1$，${\left(\frac{2k+2}{2k+1}\right)}^2>\frac{2k+3}{2k+1}$，因为两个交叉乘积相差一。连乘得到 $P_n^2\ge (2n+1)/3>(2n+1)/4$；这里 $n=1$ 的空积为一，前一个比较可取等。所有量为正，故 $\boxed{P_n>\sqrt{a_n}/2}$。