2024 年重庆预赛

解答

设 $A=(a,\sqrt{3}a-3)$。直线方向向量可取 $(1,\sqrt{3})$，由 $B$ 在右侧且 $|AB|=2\sqrt{3}$，

抛物线在横坐标 $t$ 处的切线为 $y=2tx-t^2$。过点 $(u,v)$ 的两个切点横坐标满足

故左切点 $M$ 与右切点 $N$ 的横坐标分别为

抛物线上两点连线的斜率为 $m+n$。由 $MN\Vert AB$ 得 $m+n=\sqrt{3}$，即

若 $a>0$，式（1）左边为负而右边为正；若 $a<0$，两边符号相反。故只能 $a=0$。代入可知式（1）成立，所以