同一骨架 2011 年黑龙江预赛 第 11 题 · P010756
把正八面体的六顶点放在三条互相垂直的轴上，面方程与体积拆分都由这个坐标模型直接读出；两题共用的是具体立体结构而非泛泛建系。
前题从边长定轴端点尺度，求相对平面间距；后题由互垂大圆得到轴端点，按八个互不重叠的直角小棱锥求体积。
培玉 · 一试
2017 年安徽预赛 · 第 4 题
F2填空题空间角与距离
设正八面体的边长是 ，则其两个平行表面之间的距离是 。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
用三条互相垂直的对顶点方向建正八面体坐标，两平行面方程的常数差直接给间距。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
解答
边长一的正八面体可取六顶点为 。一对相对平行面所在平面为 ，共同法向模为 ，故间距为 。
复核
任意非相反的两面相交，平行面恰是相对的一对；正八面体对称性使四对平行面的间距相同。坐标中相邻顶点距离确为一。
方法总结
正八面体的正交对顶点坐标能把面方程统一成带正负号的线性式，距离保共同法向长度。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
需选出相对平行的两面并建立正确尺度的正八面体坐标，再按平面法向求距离。
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